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    《中公版·2021國家教師資格考試專用教材：數學學科知識與教學能力（初級中學）（全新升級）》是中公教育教師資格考試研究院研發團隊在深入研究歷年教師資格考試初中數學真題及考試大綱的基礎上，精心編寫而成。
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《2021國家教師資格考試專用教材·數學學科知識與教學能力歷年真題及標準預測試卷（初級中學）》（全新升級）（新）是由中公教育教師資格考試圖書研究團隊根據考試大綱及歷年考試真題精心研發而成。
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2020年下半年中小學教師資格考試

數學學科知識與教學能力試題

（初級中學）

（科目代碼：304）


（本考試真題由中公教育教師資格考試研究院收集、整理和解答）




2020年下半年中小學教師資格考試

數學學科知識與教學能力試題（初級中學）


注意事項：

1考試時間為120分鐘，滿分為150分。

2請按規定在答題卡上填涂、作答。在試卷上作答無效，不予評分。


一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
視頻講解
1極限limx→0sinx+3xtanx+2x的值為（）。

A 43
B 32

C ∞
D不存在


視頻講解
2若α為向量m=（2，2，1）和n=（-1，2，2）的夾角，則cosα=（）。

A 13
B 49

C 59
D 33



3設f（x）=1x，x∈（0，1］，則下列說法不正確的是（）。

視頻講解
A f（x）在（0，1］上連續

B f（x）在（0，1］上一致連續

C f（x）在（0，1］上可導

D f（x）在（0，1］上單調遞減



4空間曲面x2-4y2+z2=25被平面x=-3截得的曲線是（）。

視頻講解
A橢圓

B雙曲線

C拋物線

D圓

5甲、乙兩位棋手通過五局三勝制比賽爭奪1000元獎金，前三局比賽結果為甲勝兩局負一局，現因故停止比賽。設在每局比賽中，甲、乙獲勝的概率都是12，如果按照甲、乙最終獲勝的概率大小分配獎金，甲應得獎金（）元。
視頻講解

A250
B500

C666
D750



6已知球面方程為x2+y2+z2=1，在z軸上取一點P作球面的切線，與球面相切于點M，線段PM長為22，則在點P的坐標（0，0，z）中，z的值為（）。
視頻講解

A 2
B 2

C 3
D 4


7數學測驗卷的編制步驟一般為（）。

視頻講解
A制訂命題原則→明確測驗目的→編擬雙向細目表→精選試題

B明確測驗目的→制訂命題原則→精選試題→編擬雙向細目表

C明確測驗目的→編擬雙向細目表→精選試題→制訂命題原則

D明確測驗目的→制訂命題原則→編擬雙向細目表→精選試題


8解二元一次方程組用到的數學方法主要是（）。

視頻講解
A降次

B放縮

C消元

D歸納


二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）
9求行列式1357357157137135。

視頻講解


10設函數f（x）在［a，b］上連續，證明：∫baf（a+b-x）dx=∫baf（x）dx。

視頻講解


11設A是3×4矩陣，其秩為3，已知η1，η2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同解，其中x=x1x2x3x4，b=b1b2b3。

（1）用η1，η2構造Ax=0的一個解，并寫出Ax=0的通解；（4分）

（2）求Ax=b的通解。（3分）

視頻講解


12簡述進行單元教學設計的基本流程。

視頻講解


13簡述數學運算的基本內涵。

視頻講解


三、解答題（本大題共1小題，10分）
14已知一束光線在空氣中從點A到達水面上的點P，然后折射到水下的點B（如圖所示），設光在空氣中的速度為c，在水中的速度為c′，光線在點P的入射角為θ，折射角為θ′。

視頻講解
（1）若OP長為x0，請寫出光線從點A到達點B所需時間T（x0）的表達式；（3分）

（2）若T（x0）為光線從點A到達點B時間的極小值，證明：sinθsinθ′=cc′。（7分）






四、論述題（本大題共1小題，15分）
15伴隨著大數據時代的到來，數據分析已經深入到現代社會生活的各個方面，結合實例，闡述在中學數學中培養學生數據分析能力的意義。

視頻講解


五、案例分析題（本大題共1小題，20分）閱讀案例，并回答問題。
16案例：“三角形中位線定理”是八年級學生的學習內容，下面是兩位教師的教學片段：

（一）教師甲

在講授中位線定理這一內容時，利用“數學軟件A”作了兩次測量，一次是驗證三角形中位線定理，另一次是驗證順次連接四邊形的中點所圍成的圖形為平行四邊形。教師甲發現，當他讓學生動手測量的時候，有一部分學生懶散地坐著，沒有剛開始接觸該軟件時那樣積極，課后教師向幾位同學詢問情況，有學生說這兩道題書上都有結論，早就看過了，再去測量是不是有點兒傻？

（二）教師乙

教師首先讓學生探究問題，如圖1，五邊形ABCDE中，點F，G，H，I分別是AB，BC，CD，DE的中點，J，K分別是FH，GI的中點，AE與JK有什么關系？

學生們馬上打開“數學軟件A”進行測量，很快發現AE = 4JK，能不能證明發現的結論呢？學生們沒有一點頭緒。

教師提示說當遇到問題解決不了的時候，我們是不是進一步先解決容易的問題？教師引導學生去研究三角形中位線定理和順次連接四邊形中點所圍成的圖形是平行四邊形兩個問題，經過師生的共同研究，取AD的中點L后，學生不僅驗證了AE=4JK，而且高興地發現AE和JK還存在平行關系，如圖2。



問題：


（1）請分別對教師甲和乙的教學進行評價；（10分）

（2）請畫出適用于本節課教學的“三角形中位線定理”證明的示意圖（圖中輔助線用虛線表示）；（5分）

（3）結合本案例，請談談信息技術在數學中的作用。（5分）

視頻講解


六、教學設計題（本大題共1小題，30分）
17針對“分式的基本性質”一課完成下列教學設計。

（1）寫出教學重點；（6分）

（2）設計新課程（性質、約分）導入和探索過程；（16分）

（3）設計一個運用分式基本性質的問題，并給出解答。（8分）

視頻講解



2020年下半年中小學教師資格考試

數學學科知識與教學能力試題（初級中學）參考答案及解析
一、單項選擇題

1【答案】A。解析：limx→0sinx+3xtanx+2x=limx→0sinxx+3tanxx+2=limx→0sinxx+3limx→0tanxx+2=43。故本題選A。


2【答案】B。解析：利用向量內積的定義，cosα=m·nmn=2×（-1）+2×2+1×222+22+12·（-1）2+22+22=49。故本題選B。


3【答案】B。解析：因為函數f（x）=1x是初等函數，且在（0，1］上有定義，所以f（x）在（0，1］上連續、可導。此外，由于f′（x）=-1x2<0在（0，1］上恒成立，所以f（x）在（0，1］上（嚴格）單調遞減，因此，A，C，D三項說法正確。對于B項，取ε0=1，令x′n=1n，x″n=1n+1，則limn→∞（x′n-x″n）=0，且f（x′n）-f（x″n）=1≥ε0，所以函數f（x）=1x在（0，1］上不一致連續。故本題選B。


4【答案】B。解析：將x=-3代入曲面方程x2-4y2+z2=25得，-y42+z216=1，這是一個雙曲線。故本題選B。


5【答案】D。解析：由題意，在每局比賽中，甲、乙獲勝的概率都是12，且前三局比賽結果為甲勝兩局負一局，所以若乙最終贏得比賽，則第四局與第五局都是乙獲勝，其概率為12×12=14，從而甲最終贏得比賽的概率為1-14=34。因此甲應得獎金1000×34=750（元）。故本題選D。


6【答案】C。解析：連接坐標原點O與點M。由于PM與球面相切于點M，所以△OPM是直角三角形，于是OP=OM2+PM2，又由球面方程知，球面半徑為1，所以OM=1，再結合題中條件PM=22，OP=z，得z=12+（22）2=3。故本題選C。


7【答案】D。解析：數學測驗卷的編制步驟一般為明確測驗目的、制訂命題原則、編擬雙向細目表、精選試題。其中，雙向細目表是測驗卷考查目標或能力與內容之間的列聯表，由考查能力或素養維度和內容維度構成，它能夠幫助測驗卷編制者決定考查哪些內容以及各類題型應占的比例。故本題選D。


8【答案】C。解析：解二元一次方程組主要是利用消元法消去其中一個未知數，把二元一次方程組轉化為一元一次方程，從而先求出一個未知數，然后再求出另一個未知數。故本題選C。


二、簡答題

9【參考答案】

原式=16357165711671316135
=241357157117131135
=241357022-604-4-40-2-2-2
=241357022-600-88000-8
=211。


10【參考答案】

證明：令x=a+b-t，則有∫baf（a+b-x）dx=∫abf（t）d（a+b-t）=-∫abf（t）dt=∫baf（t）dt，即得∫baf（a+b-x）dx=∫baf（x）dx。


11【參考答案】

（1）已知η1，η2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同解，所以Aη1=b，Aη2=b，兩式相減得，A（η1-η2）=0，即得Ax=0的一個非零解（η1-η2）。

因為矩陣A是3×4矩陣，且r（A）=3，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎解系的解的個數為4-r（A）=1，又（η1-η2）是Ax=0的一個非零解，所以Ax=0的通解為k（η1-η2），k為任意常數。

（2）由（1）知，非齊次線性方程組Ax=b的導出組Ax=0的通解為k（η1-η2），結合η1是Ax=b的一個特解得，Ax=b的通解為k（η1-η2）+η1，k為任意常數。


12【參考答案】

進行單元教學設計的基本流程如下。

①學情分析。在教學開始前，分析該階段學生的身心特點、學習基礎，以及學生學習該單元內容的認知起點、學習興趣、學習障礙、學習難度等。

②單元結構構建。單元結構構建首先要對教學內容進行整體分析，要關注數學內容的整體性，在理解內容的基礎上，繪制出單元內容結構圖，并根據內容及其重要性，對教學形式和課時進行合理的安排。

③單元教學目標制定。結合單元內容結構圖，依據新課程教育教學理念、以及學生的認知特點，從知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三方面制定教學目標，注意將三維教學目標有機地聯系在一起。

④教學過程設計。教學過程設計要兼顧“本課內容”的教學和“單元內容”的貫通，構建一條圍繞核心內容展開教學活動的主線，教學過程設計要突出教學重點，突破教學難點，內容安排合理，體現出創新性和可操作性。

⑤教學反思與評價。在單元教學結束后，教師重點總結教學設計的特色和亮點，反思教學實施過程中出現的問題，進行自我評價。


13【參考答案】

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。